高校数学に挑んだら惨敗した件

高校生の数学の問題を解く機会があって、解いてみたのですが、
結構難しかったので、紹介します。

$4^{n+1} + 5^{2n-1}$が21で割り切れることを示せ。

$$\begin{eqnarray*} 4^{n+1} + 5^{2n-1} &= &16 \times 4^{n-1} + 5 \times 5^{2(n-1)} \\ &= &16 \times 4^{n-1} + 5 \times 25^{n-1} \\ &= & (21 - 5) \times 4^{n-1} + 5 \times (21 + 4)^{n-1} \cdots (1) \\ \end{eqnarray*}$$
ここで$(1)$を21で割ることを考えます。
前半部分($4^{n-1}$の方)を21で割ると余りは$- 5 \times 4^{n-1}$となります。
後半部分は$(21 + 4)^{n-1}$を展開すると最後の$4^{n-1}$以外はすべて21の倍数になるので、
結局後半部分の余りは$5 \times 4^{n-1}$となります。

なので、前半部分の余り$+$後半部分の余り
$= - 5 \times 4^{n-1} + - 5 \times 4^{n-1} = 0$
Q.E.D

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これ初見で解ける高校生いるのかな…。
僕は初見どころか解説読んでもしばらく理解出来ませんでした。
(なぜ後半部分の余りが$- 5 \times 4^{n-1}$になるのか）